Nama Kelompok

1. INDERA OKSILADINATA (06. 221. 113)
   
2. HASMIATI (06. 221. 096)
3. JUMARSAH RAHMAN (06. 221. 125)
4. KHAIRRURRAZIKIN (06. 221. 127)
5. IDATULLAILI (06. 221. 108)
6. HAIRUNISAH (06. 221. 090)

Selengkapnya......

Logika Matematika

Awalnya kita harus punya satu kata yaitu "pernyataan"

atau proposisi. yaitu kalimat yang hanya bernilai salah atau benar saja, dan tidak sekaligus benar dan salah. Kalimat ini sering kita pakai dalam kehidupan sehari-hari, namun kita sering tidak menyadari hal itu. misalnta kita mengatakan " Lukisan itu indah " apakah ini merupakan sebuah proposisi ? tentu dalam menjawab pertanyaan ini kita memerlukan pola pikir yang sangat hati-hati. Kita akan tau apakah kalimat ini benar atau salah setelah melalui beberapa proses. Misalnya menanyakan "siapa yang mengatakan hal ini " apakah bersifat secara umum? apakah setiap orang akan mengatakan hal yang sama? tentunya tdak kawan. Semua orang memiliki persepsi berbeda tentang lukisan tersebut. Oleh karena itu kalimat ini bukan sebuah proposisi.
Contoh proposisi
1. SBY presiden RI tahun 2007
2. Seminggu ada 6 hari
3. google.com adalah mesin pencari web
ketiga contoh itu ada yang bernilai benar, dan ada yang bernilai salah. Kebenaran ini disesuaikan dengan kondisi.
Kebenaran pernyataan
kebenaran pernyataan disesuaikan dengan keadaan sebenarnya, baik yg telah terjadi, sedang , dan yg akan terjadi nanti.
"SBY presiden RI 2007"; dipastikan benar karena memang terjadi, untuk itu kita katakan proposisi ini bernilai "benar(B)"
Dua pernyataan atau lebih yg dihubungkan dengan kata perangkai atau penghubung kita namakan pernyataan majemuk.
pernyataan elementer
Pernyataan - pernyataan tunggal (yg pastinya tidak mengadung kata penghubung) kita namakan pernyataan elementer.
Contoh kata penghubung
Dalam logika kita mengenal kata penghubung "Dan(&)";Atau(or), "jika...maka....(=>)";jika dan hanya jika(<=>)"
Yang kita tau bahwa Einstein tidak gila, maka pernyataan Einstein orang gila(salah), dan ingkarannya dipastikan(benar)
Pada beberapa kasus, untuk kata tidak tidak kita artikan sebagai ya.Disinilah kesenjangan bahasa logika dgn sehari-hari
Kata Penghubung ATAU
Misalkan kita punya dua pernyataan P dan Q.Defenisi yg kita pakai adalah jika kedua pernyataan ini dirangkai menjadi satu kalimat, maka menjadi (P atau Q) yang bernilai(B) jk salah satunya benar dan(S) jk ke2nya salah.

Selengkapnya......

SUBGRUP NORMAL

DEFINISI. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G dikatakan subgrup dari G, jika dengan operasi yang sama dengan operasi dalam G, H membentuk grup.

Ada beberapa hal yang perlu diperhatikan bahwa H dikatakan subgroup dari G
1. H subhimpunan dari G dan tidak kosong
2. H membentuk grup dengan operasi yang sama dengan G

Jelas !!! meskipun H bagian dari G dan membentuk grup, tetapi dengan operasi yang berbeda dengan G, misalkan dalam G operasi penjulahan dan H operasi perkalian, maka H bukan subgroup dari G.


LEMMA. Suatu subhimpunan tak kosong H dari G merupakan subgrup dari G jika dan hanya jika
(1). ab elemen H, untuk semua a,b elemen H
(2). jika a elemen H, maka
BUKTI.
(==>)H subgroup dari G, maka H subhimpunan takkosong dari G . menurut defenisi H membentuk grup dengan operasi yang sama dengan G. dengan demikian H memenuhi (1) dan (2)
(<==) anggaplah syarat.(1) dan.(2) berlaku dalam H. Untuk menunjukkan bahwa H membentuk grup dengan operasi dalam G, maka kita harus dapat menunjukkan dua syarat lagi yaitu bahwa
1.Dalam H berlaku sifat asosiatif
2.Adanya unsur identitas dalam H.
Sifat asosiatif, jelas dipenuhi, karena H merupakan subhimpunan dari G. Sementara itu untuk membuktikan adanya unsur identitas, perhatikan bahwa
Misalkan a di H, maka dan
. Karena.(1) yaitu H tertutup, maka e di H. Ini melengkapi pembuktian bahwa H membentuk grup. Jadi H merupakan subgrup dari G.

Lebih lanjut dalam membuktikan bahwa suatu H subhimpunan dari G adalah subgroup dari G kita cukup menggunakan langkah-langkah :
1. H tidak kosong ( biasanya kita akan melirik e sebagai salah satu unsur dalam H, agar jelas bahwa e di H )
2. Untuk setiap a,b di H maka ab di H ( H tertutup dengan operasi yang diberikan )
3. Untuk setiap a di H, maka
CONTOH.
Misalkan G grup bilangan bulat dibawah operasi penjumlahan, H subhimpunan dari G yaitu himpunan semua bilangan bulat kelipatan 3, yaitu H = {3n  n bilangan bulat}.buktikan bahwa H subgroup dari G.
1. H tidak kosong , karena ada 0 = 3(0) di G, yang berarti 0 di H.
2. Ambil sebarang a,b di H, misalkan a = 3n1 dan b = 3n2 untuk suatu n1, n2 bilangan bulat. Perhat : a + b = 3n1 + 3n2 = (n1 + n1 + n1) + (n2 + n2 + n2) = (n1 + n2) + (n1 + n2) +(n1 + n2) = 3(n1 + n2) , karena n1 + n2 bilangan bulat, maka a + b di H. Dengan demikian H dengan operasi dalam G bersifat tertutup.
3. Ambil sebarang a = 3n1 di H. akan ditunjukan bahwa –a di H. perhat : -n1 adalah invers dari n1 di G. jelas 3(-n1) di H. adit –a = 3(-n1).
Perhat : -a = -(3n1) = - (n1 + n1 + n1) = (-n1) + (-n1) + (-n1) = 3(-n1) di H.
Jadi H subgroup dari G. ( cukup !!!!!)
LEMMA. Jika H subhimpunan hingga dari grup G, dan H tertutup dibawah operasi dalam G, maka H merupakan subgrup dari G.
Pada saat ini kita akan mengatakan bahwa untuk setiap H subhimpunan hingga dari grup G yang tertutup terhadap operasi dalam G, maka dipastikan H subgroup dari G.
BUKTI.
Seperti pada langkah diatas,
1. H tidak kosong sudah terpenuhi.
2. H tertutup dengan operasi dalam G sudah terpenuhi.
3. Tinggal kita menunjukan bahwa untuk setiap a di H maka invers dari a di H.
Jadi untuk membuktikan lemma ini, kita cukup membuktikan bahwa jika membuktikan bahwa jika a di H, maka invers dari a di H. Untuk keperluan ini, ambil a elemen H sebarang. Karena H tertutup, maka
Akan tetapi, H himpunan berhingga, oleh karena itu mesti terdapat r > s > 0 sedemikian sehingga
Perhatikan pernyataan diatas !!!, karena H berhingga dan H tertutup, maka pasti ada unsure yang sama dari hasil perkalian berulang a. ( hayalkan !!!!) benarkah ??? mungkin saja aaa = aa, atau yang lain. Lanjut r > s > 0 maka r – s – 1  0 yaitu pasti r-s-1>0 atau r-s-1 = 0. pada saat ini, maka invers dari a di H.

Selengkapnya......